Diophantus, mit Namen Diophantus von Alexandria (blühte um 250), griechischer Mathematiker, berühmt für seine Arbeit in der Algebra.
Zahlentheorie: Diophantus
Von späteren griechischen Mathematikern ist besonders Diophantus von Alexandria (blühend um 250), Autor, bemerkenswert
Was wenig über Diophantus 'Leben bekannt ist, ist umständlich. Aus der Bezeichnung „von Alexandria“ geht hervor, dass er im wichtigsten wissenschaftlichen Zentrum der antiken griechischen Welt gearbeitet hat; und weil er nicht vor dem 4. Jahrhundert erwähnt wird, scheint es wahrscheinlich, dass er im 3. Jahrhundert blühte. Ein arithmetisches Epigramm aus der Anthologia Graeca der Spätantike, das angeblich einige Meilensteine seines Lebens nachzeichnet (Heirat mit 33 Jahren, Geburt seines Sohnes mit 38 Jahren, Tod seines Sohnes vier Jahre vor seinem eigenen mit 84 Jahren), kann durchaus erfunden werden. Unter seinem Namen sind zwei Werke zu uns gekommen, beide unvollständig. Das erste ist ein kleines Fragment auf polygonalen Zahlen (eine Zahl ist polygonal, wenn dieselbe Anzahl von Punkten in Form eines regulären Polygons angeordnet werden kann). Die zweite, eine große und äußerst einflussreiche Abhandlung, auf der der gesamte alte und moderne Ruhm von Diophantus beruht, ist seine Arithmetica. Seine historische Bedeutung ist zweifach: Es ist das erste bekannte Werk, das Algebra in einem modernen Stil einsetzt, und es inspirierte die Wiedergeburt der Zahlentheorie.
Die Arithmetik beginnt mit einer Einführung, die an Dionysius gerichtet ist - wohl den heiligen Dionysius von Alexandria. Nach einigen allgemeinen Aussagen zu Zahlen erklärt Diophantus seine Symbolik - er verwendet Symbole für das Unbekannte (entsprechend unserem x) und seine positiven oder negativen Potenzen sowie für einige arithmetische Operationen - die meisten dieser Symbole sind eindeutig Schreibabkürzungen. Dies ist das erste und einzige Vorkommen algebraischer Symbolik vor dem 15. Jahrhundert. Nachdem Diophantus die Multiplikation der Kräfte des Unbekannten gelehrt hat, erklärt er die Multiplikation von positiven und negativen Termen und wie man eine Gleichung auf eine mit nur positiven Termen reduziert (die in der Antike bevorzugte Standardform). Mit diesen Vorbereitungen aus dem Weg geht Diophantus zu den Problemen über. In der Tat ist die Arithmetica im Wesentlichen eine Sammlung von Problemen mit Lösungen, von denen etwa 260 noch vorhanden sind.
Die Einleitung besagt auch, dass die Arbeit in 13 Bücher unterteilt ist. Sechs dieser Bücher waren im späten 15. Jahrhundert in Europa bekannt, wurden von byzantinischen Gelehrten auf Griechisch übermittelt und von I bis VI nummeriert. Vier weitere Bücher wurden 1968 in einer arabischen Übersetzung von Qusṭā ibn Lūqā aus dem 9. Jahrhundert entdeckt. Dem arabischen Text fehlt jedoch die mathematische Symbolik, und er scheint auf einem späteren griechischen Kommentar zu beruhen - vielleicht dem von Hypatia (ca. 370–415) -, der Diophantus 'Darstellung verwässerte. Wir wissen jetzt, dass die Nummerierung der griechischen Bücher geändert werden muss: Arithmetica besteht somit aus den Büchern I bis III auf Griechisch, den Büchern IV bis VII auf Arabisch und vermutlich den Büchern VIII bis X auf Griechisch (die früheren griechischen Bücher IV bis VI)). Eine weitere Umnummerierung ist unwahrscheinlich. Es ist ziemlich sicher, dass die Byzantiner nur die sechs Bücher kannten, die sie übermittelten, und die Araber nicht mehr als die Bücher I bis VII in der kommentierten Version.
Die Probleme von Buch I sind nicht charakteristisch, da es sich meist um einfache Probleme handelt, die zur Veranschaulichung der algebraischen Abrechnung verwendet werden. Die charakteristischen Merkmale von Diophantus 'Problemen erscheinen in den späteren Büchern: Sie sind unbestimmt (mit mehr als einer Lösung), sind vom zweiten Grad oder auf den zweiten Grad reduzierbar (die höchste Potenz bei variablen Begriffen ist 2, dh x 2). und enden mit der Bestimmung eines positiven rationalen Wertes für das Unbekannte, der einen gegebenen algebraischen Ausdruck zu einem numerischen Quadrat oder manchmal zu einem Würfel macht. (In seinem gesamten Buch verwendet Diophantus "Zahl", um sich auf sogenannte positive, rationale Zahlen zu beziehen. Eine quadratische Zahl ist also das Quadrat einer positiven, rationalen Zahl.) In den Büchern II und III werden auch allgemeine Methoden vermittelt. In drei Problemen von Buch II wird erklärt, wie man Folgendes darstellt: (1) jede gegebene Quadratzahl als Summe der Quadrate zweier rationaler Zahlen; (2) jede gegebene nichtquadratische Zahl, die die Summe von zwei bekannten Quadraten ist, als Summe von zwei anderen Quadraten; und (3) jede gegebene rationale Zahl als Differenz zweier Quadrate. Während das erste und dritte Problem allgemein angegeben werden, legt die angenommene Kenntnis einer Lösung im zweiten Problem nahe, dass nicht jede rationale Zahl die Summe von zwei Quadraten ist. Diophantus gibt später die Bedingung für eine ganze Zahl an: Die gegebene Zahl darf keinen Primfaktor der Form 4n + 3 enthalten, der auf eine ungerade Potenz angehoben ist, wobei n eine nicht negative ganze Zahl ist. Solche Beispiele motivierten die Wiedergeburt der Zahlentheorie. Obwohl Diophantus normalerweise zufrieden ist, eine Lösung für ein Problem zu erhalten, erwähnt er gelegentlich bei Problemen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
In den Büchern IV bis VII erweitert Diophantus grundlegende Methoden wie die oben beschriebenen auf Probleme höheren Grades, die auf eine Binomialgleichung ersten oder zweiten Grades reduziert werden können. In den Vorworten zu diesen Büchern heißt es, dass ihr Zweck darin besteht, dem Leser „Erfahrung und Können“ zu vermitteln. Diese jüngste Entdeckung erweitert zwar nicht das Wissen über Diophantus 'Mathematik, verändert jedoch die Einschätzung seiner pädagogischen Fähigkeiten. Die Bücher VIII und IX (vermutlich die griechischen Bücher IV und V) lösen schwierigere Probleme, auch wenn die grundlegenden Methoden gleich bleiben. Zum Beispiel besteht ein Problem darin, eine gegebene ganze Zahl in die Summe von zwei Quadraten zu zerlegen, die willkürlich nahe beieinander liegen. Ein ähnliches Problem besteht darin, eine gegebene ganze Zahl in die Summe von drei Quadraten zu zerlegen. darin schließt Diophantus den unmöglichen Fall von ganzen Zahlen der Form 8n + 7 aus (wiederum ist n eine nicht negative ganze Zahl). Buch X (vermutlich griechisches Buch VI) befasst sich mit rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen Seiten und unter verschiedenen weiteren Bedingungen.
Der Inhalt der drei fehlenden Bücher der Arithmetica kann aus der Einleitung vermutet werden, in der Diophantus, nachdem er gesagt hat, dass die Reduzierung eines Problems „wenn möglich“ mit einer Binomialgleichung abgeschlossen werden sollte, hinzufügt, dass er den Fall „später“ behandeln wird einer Trinomialgleichung - ein Versprechen, das im vorliegenden Teil nicht erfüllt wurde.
Obwohl Diophantus nur über begrenzte algebraische Werkzeuge verfügte, gelang es ihm, eine Vielzahl von Problemen zu lösen, und die Arithmetica inspirierte arabische Mathematiker wie al-Karajī (ca. 980–1030), seine Methoden anzuwenden. Die berühmteste Erweiterung von Diophantus 'Werk war Pierre de Fermat (1601–65), der Begründer der modernen Zahlentheorie. Am Rande seiner Ausgabe von Arithmetica schrieb Fermat verschiedene Bemerkungen und schlug neue Lösungen, Korrekturen und Verallgemeinerungen von Diophantus 'Methoden sowie einige Vermutungen wie Fermats letzten Satz vor, der Mathematiker über Generationen hinweg beschäftigte. Unbestimmte Gleichungen, die auf integrale Lösungen beschränkt sind, sind, wenn auch unangemessen, als diophantinische Gleichungen bekannt geworden.
