Harmonische Konstruktionsmathematik

Harmonische Konstruktionin der projektiven Geometrie die Bestimmung eines Paares von Punkten C und D, das ein Liniensegment AB harmonisch teilt (siehe Abbildung), dh intern und extern im gleichen Verhältnis, wobei das interne Verhältnis CA / CB gleich dem Negativ des ist externes Verhältnis DA / DB auf der erweiterten Leitung. Der Satz der Harmonizität besagt, dass, wenn der externe Teilungspunkt eines Liniensegments gegeben ist, der interne Punkt durch eine rein projektive Technik konstruiert werden kann; das heißt, indem nur Schnittpunkte von geraden Linien verwendet werden. Um dies zu erreichen, wird ein beliebiges Dreieck auf der Basis AB gezeichnet, gefolgt von einer beliebigen Linie vom externen Punkt D, die dieses Dreieck in zwei Teile schneidet. Die so verbundenen Ecken des gebildeten Vierecks und der durch den Schnittpunkt dieser Diagonalen zusammen mit dem Punkt am Scheitelpunkt des Dreiecks bestimmte Punkt bestimmen eine Linie, die AB im richtigen Verhältnis schneidet.

Diese Konstruktion ist für die projektive Geometrie von Interesse, da die Position des vierten Punkts unabhängig von der Wahl der ersten drei Linien in der Konstruktion ist und die harmonische Beziehung der vier Punkte erhalten bleibt, wenn die Linie auf eine andere Linie projiziert wird.