Kategorietheorie
Abstraktion in der Mathematik
Eine neuere Tendenz in der Entwicklung der Mathematik war der schrittweise Abstraktionsprozess. Der norwegische Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–29) hat bewiesen, dass Gleichungen fünften Grades im Allgemeinen nicht durch Radikale gelöst werden können. Der französische Mathematiker Évariste Galois (1811–32) führte, teilweise motiviert durch Abels Arbeit, bestimmte Gruppen von Permutationen ein, um die notwendigen Bedingungen für die Lösbarkeit einer Polynomgleichung zu bestimmen. Diese konkreten Gruppen führten bald zu abstrakten Gruppen, die axiomatisch beschrieben wurden. Dann wurde erkannt, dass es zum Studieren von Gruppen notwendig war, die Beziehung zwischen verschiedenen Gruppen zu untersuchen - insbesondere die Homomorphismen, die eine Gruppe in eine andere abbilden, während die Gruppenoperationen erhalten bleiben. So begannen die Menschen, die heutige konkrete Kategorie von Gruppen zu untersuchen, deren Objekte Gruppen und deren Pfeile Homomorphismen sind. Es dauerte nicht lange, bis konkrete Kategorien durch abstrakte Kategorien ersetzt wurden, die wiederum axiomatisch beschrieben wurden.
Der wichtige Begriff einer Kategorie wurde am Ende des Zweiten Weltkriegs von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane eingeführt. Diese modernen Kategorien müssen von Aristoteles 'Kategorien unterschieden werden, die im gegenwärtigen Kontext besser als Typen bezeichnet werden. Eine Kategorie enthält nicht nur Objekte, sondern auch Pfeile (auch als Morphismen, Transformationen oder Zuordnungen bezeichnet).
Viele Kategorien haben als Objekte Mengen, die mit einer Struktur und Pfeilen ausgestattet sind, die diese Struktur beibehalten. Somit gibt es die Kategorien von Mengen (mit leerer Struktur) und Abbildungen, von Gruppen und Gruppenhomomorphismen, von Ringen und Ringhomomorphismen, von Vektorräumen und linearen Transformationen, von topologischen Räumen und kontinuierlichen Abbildungen und so weiter. Auf einer noch abstrakteren Ebene gibt es sogar die Kategorie der (kleinen) Kategorien und Funktoren, wie die Morphismen zwischen den Kategorien genannt werden, die die Beziehungen zwischen den Objekten und Pfeilen bewahren.
Nicht alle Kategorien können auf diese konkrete Weise angezeigt werden. Zum Beispiel können die Formeln eines deduktiven Systems als Objekte einer Kategorie angesehen werden, deren Pfeile f: A → B Ableitungen von B von A sind. Tatsächlich ist dieser Gesichtspunkt in der theoretischen Informatik wichtig, wo Formeln gedacht werden als Arten und Abzüge als Operationen.
Formal besteht eine Kategorie aus (1) einer Sammlung von Objekten A, B, C,…, (2) für jedes geordnete Objektpaar in der Sammlung eine zugehörige Sammlung von Transformationen einschließlich der Identität I A ∶ A → A und (3) ein zugehöriges Kompositionsgesetz für jedes geordnete Dreifach von Objekten in der Kategorie, so dass z f ∶ A → B und g ∶ B → C Die Zusammensetzung gf (oder g ○ f) ist eine Transformation von A nach C - dh gf ∶ A → C. Zusätzlich müssen das Assoziationsgesetz und die Identitäten gelten (wobei die Zusammensetzungen sind definiert) -ie, h (p) = (hg) f 1 und B f = f = f1 A.
In gewisser Weise haben die Objekte einer abstrakten Kategorie keine Fenster wie die Monaden von Leibniz. Um auf das Innere eines Objekts A schließen zu können, müssen nur alle Pfeile von anderen Objekten zu A betrachtet werden. Beispielsweise können in der Kategorie von Mengen Elemente einer Menge A durch Pfeile aus einer typischen Ein-Element-Menge in A dargestellt werden In ähnlicher Weise können in der Kategorie der kleinen Kategorien, wenn 1 die Kategorie mit einem Objekt und keinen Nichtidentitätspfeilen ist, die Objekte einer Kategorie A mit den Funktoren 1 → A identifiziert werden. Wenn 2 die Kategorie mit zwei Objekten und einem Nichtidentitätspfeil ist, können die Pfeile von A mit den Funktoren 2 → A identifiziert werden.
Isomorphe Strukturen
Ein Pfeil F: B → A invers zu f, das heißt, so dass g ○ f = 1: A → B einen Isomorphismus wenn ein Pfeil G genannt A und f ○ g = 1 B. Dies ist A ≅ B geschrieben, und A und B werden als isomorph bezeichnet, was bedeutet, dass sie im Wesentlichen dieselbe Struktur haben und dass es nicht notwendig ist, zwischen ihnen zu unterscheiden. Soweit mathematische Entitäten Objekte von Kategorien sind, werden sie nur dem Isomorphismus übergeben. Ihre traditionellen satztheoretischen Konstruktionen sind nicht nur nützlich, um Konsistenz zu zeigen, sondern auch wirklich irrelevant.
Beispielsweise wird in der üblichen Konstruktion des Ganzzahlrings eine Ganzzahl als eine Äquivalenzklasse von Paaren (m, n) natürlicher Zahlen definiert, wobei (m, n) (m ', n') entspricht, wenn und nur wenn m + n '= m' + n. Die Idee ist, dass die Äquivalenzklasse von (m, n) als m - n anzusehen ist. Für einen Kategoristen ist jedoch wichtig, dass der Ring ℤ von ganzen Zahlen ein Anfangsobjekt in der Kategorie von Ringen und Homomorphismen ist - das heißt, dass es für jeden Ring ℝ einen eindeutigen Homomorphismus ℤ → ℝ gibt. So gesehen ist ℤ nur dem Isomorphismus überlassen. Im gleichen Sinne sollte nicht gesagt werden, dass ℤ im Feld ℚ der rationalen Zahlen enthalten ist, sondern nur, dass der Homomorphismus ℤ → ℚ eins zu eins ist. Ebenso macht es keinen Sinn, vom satztheoretischen Schnittpunkt von π und Quadratwurzel von √-1 zu sprechen, wenn beide als Mengen von Mengen von Mengen (ad infinitum) ausgedrückt werden.
Von besonderem Interesse für Stiftungen und anderswo sind benachbarte Funktoren (F, G). Dies sind Funktorpaare zwischen zwei Kategorien ? und ℬ, die in entgegengesetzte Richtungen verlaufen, so dass eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen der Menge der Pfeile F (A) → B in ℬ und der Menge der Pfeile A → G (B) besteht) in ? - das heißt, die Mengen sind isomorph.
