Permutationen und Kombinationen, die verschiedenen Arten, wie Objekte aus einer Menge im Allgemeinen ersatzlos ausgewählt werden können, um Teilmengen zu bilden. Diese Auswahl von Teilmengen wird als Permutation bezeichnet, wenn die Reihenfolge der Auswahl ein Faktor ist, eine Kombination, wenn die Reihenfolge kein Faktor ist. Unter Berücksichtigung des Verhältnisses der Anzahl der gewünschten Teilmengen zur Anzahl aller möglichen Teilmengen für viele Glücksspiele im 17. Jahrhundert gaben die französischen Mathematiker Blaise Pascal und Pierre de Fermat Impulse für die Entwicklung der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Kombinatorik: Binomialkoeffizienten
n Objekte wird als Permutation von n Dingen bezeichnet, die gleichzeitig aufgenommen wurden. Die Anzahl der Permutationen beträgt
Die Konzepte und Unterschiede zwischen Permutationen und Kombinationen können veranschaulicht werden, indem alle verschiedenen Arten untersucht werden, wie ein Objektpaar aus fünf unterscheidbaren Objekten ausgewählt werden kann - wie z. B. den Buchstaben A, B, C, D und E. Wenn beide Wenn die ausgewählten Buchstaben und die Reihenfolge der Auswahl berücksichtigt werden, sind die folgenden 20 Ergebnisse möglich:
Jede dieser 20 verschiedenen möglichen Auswahlen wird als Permutation bezeichnet. Insbesondere werden sie als Permutationen von fünf Objekten bezeichnet, die zu zweit aufgenommen wurden, und die Anzahl solcher möglichen Permutationen wird durch das Symbol 5 P 2 mit der Aufschrift "5 permute 2" bezeichnet. Wenn im Allgemeinen n Objekte zur Auswahl verfügbar sind und Permutationen (P) unter Verwendung von k der Objekte gleichzeitig gebildet werden sollen, wird die Anzahl der verschiedenen möglichen Permutationen durch das Symbol n P k bezeichnet. Eine Formel für ihre Bewertung lautet n P k = n! / (N - k)! Der Ausdruck n! - gelesen "n Fakultät" - gibt an, dass alle aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen von 1 bis einschließlich n miteinander multipliziert werden sollen. und 0! wird als gleich 1 definiert. Unter Verwendung dieser Formel beträgt beispielsweise die Anzahl der Permutationen von fünf Objekten, die jeweils zu zwei genommen werden
(Für k = n ist n P k = n! Somit gibt es für 5 Objekte 5! = 120 Anordnungen.)
Für Kombinationen werden k Objekte aus einer Menge von n Objekten ausgewählt, um Teilmengen ohne Reihenfolge zu erzeugen. Im Gegensatz zum vorherigen Permutationsbeispiel mit der entsprechenden Kombination sind die AB- und BA-Teilmengen keine unterschiedlichen Auswahlen mehr. Durch die Beseitigung solcher Fälle bleiben nur 10 verschiedene mögliche Teilmengen übrig - AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE und DE.
Die Anzahl solcher Teilmengen wird mit n C k bezeichnet und lautet "n wähle k". Für Kombinationen, da k Objekte k haben! Arrangements gibt es k! nicht unterscheidbare Permutationen für jede Auswahl von k Objekten; daher wird die Permutationsformel durch k geteilt! ergibt die folgende Kombinationsformel:
Dies ist der gleiche wie der (n, k) Binomialkoeffizient (siehe Binomialsatz). Beispielsweise beträgt die Anzahl der Kombinationen von fünf Objekten, die zu zweit aufgenommen wurden,
Die Formeln für n P k und n C k werden Zählformeln genannt, da sie verwendet werden können, um die Anzahl möglicher Permutationen oder Kombinationen in einer gegebenen Situation zu zählen, ohne sie alle auflisten zu müssen.
![Nach dem Thin Man Film von Van Dyke [1936]](https://images.thetopknowledge.com/img/entertainment-pop-culture/0/after-thin-man-film-van-dyke-1936.jpg "Nach dem Thin Man Film von Van Dyke [1936]")
