Sturm-Liouville-Problem oder Eigenwertproblem in der Mathematik, eine bestimmte Klasse von partiellen Differentialgleichungen (PDEs), die zusätzlichen Einschränkungen unterliegen, die als Grenzwerte bekannt sind. Solche Gleichungen sind sowohl in der klassischen Physik (z. B. Wärmeleitung) als auch in der Quantenmechanik (z. B. Schrödinger-Gleichung) üblich, um Prozesse zu beschreiben, bei denen ein externer Wert (Grenzwert) konstant gehalten wird, während das interessierende System irgendeine Form von Energie überträgt.
Mitte der 1830er Jahre arbeiteten die französischen Mathematiker Charles-François Sturm und Joseph Liouville unabhängig voneinander am Problem der Wärmeleitung durch einen Metallstab und entwickelten dabei Techniken zur Lösung einer großen Klasse von PDEs, von denen die einfachsten die Form annehmen [S. (x) y ']' + [q (x) - λr (x)] y = 0 wobei y eine physikalische Größe (oder die quantenmechanische Wellenfunktion) ist und λ ein Parameter oder Eigenwert ist, der die Gleichung so einschränkt dass y die Grenzwerte an den Endpunkten des Intervalls erfüllt, über das sich die Variable x erstreckt. Wenn die Funktionen p, q und r geeignete Bedingungen erfüllen, hat die Gleichung eine Familie von Lösungen, die als Eigenfunktionen bezeichnet werden und den Eigenwertlösungen entsprechen.
Für den komplizierteren inhomogenen Fall, in dem die rechte Seite der obigen Gleichung eine Funktion f (x) anstelle von Null ist, können die Eigenwerte der entsprechenden homogenen Gleichung mit den Eigenwerten der ursprünglichen Gleichung verglichen werden. Wenn diese Werte unterschiedlich sind, hat das Problem eine eindeutige Lösung. Wenn andererseits einer dieser Eigenwerte übereinstimmt, hat das Problem abhängig von den Eigenschaften der Funktion f (x) entweder keine Lösung oder eine ganze Familie von Lösungen.
