Riemannsche Zeta-Funktionsmathematik

Riemannsche Zetafunktion, eine in der Zahlentheorie nützliche Funktion zur Untersuchung der Eigenschaften von Primzahlen. Geschrieben als ζ (x), wurde es ursprünglich als die unendliche Reiheζζ (x) = 1 + 2 ^−x + 3 ^−x + 4 ^−x + ⋯ definiert. Wenn x = 1 ist, wird diese Reihe als harmonische Reihe bezeichnet, die ungebunden zunimmt, dh ihre Summe ist unendlich. Für Werte von x größer als 1 konvergiert die Reihe gegen eine endliche Zahl, wenn aufeinanderfolgende Terme hinzugefügt werden. Wenn x kleiner als 1 ist, ist die Summe wieder unendlich. Die Zeta-Funktion war dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler 1737 bekannt, wurde aber zunächst vom deutschen Mathematiker Bernhard Riemann eingehend untersucht.

1859 veröffentlichte Riemann eine Veröffentlichung mit einer expliziten Formel für die Anzahl der Primzahlen bis zu einer vorab zugewiesenen Grenze - eine entschiedene Verbesserung gegenüber dem durch den Primzahlsatz angegebenen ungefähren Wert. Riemanns Formel hing jedoch davon ab, die Werte zu kennen, bei denen eine verallgemeinerte Version der Zeta-Funktion gleich Null ist. (Die Riemannsche Zetafunktion ist für alle komplexen Zahlen definiert - Zahlen der Form x + iy, wobei i = Quadratwurzel von √ - 1 - mit Ausnahme der Linie x = 1.) Riemann wusste, dass die Funktion für alle negativen Geraden gleich Null ist ganze Zahlen −2, −4, −6,

(sogenannte triviale Nullen), und dass es eine unendliche Anzahl von Nullen im kritischen Streifen komplexer Zahlen zwischen den Zeilen x = 0 und x = 1 gibt, und er wusste auch, dass alle nichttrivialen Nullen in Bezug auf die kritischen symmetrisch sind Linie x = ¹ / ₂. Riemann vermutete, dass sich alle nichttrivialen Nullen auf der kritischen Linie befinden, eine Vermutung, die später als Riemann-Hypothese bekannt wurde.

1900 bezeichnete der deutsche Mathematiker David Hilbert die Riemannsche Hypothese als eine der wichtigsten Fragen der gesamten Mathematik, was sich in ihrer Aufnahme in seine einflussreiche Liste von 23 ungelösten Problemen zeigt, mit denen er Mathematiker des 20. Jahrhunderts herausforderte. 1915 bewies der englische Mathematiker Godfrey Hardy, dass auf der kritischen Linie unendlich viele Nullen vorkommen, und 1986 wurde gezeigt, dass die ersten 1.500.000.001 nichttrivialen Nullen auf der kritischen Linie liegen. Obwohl sich die Hypothese möglicherweise noch als falsch herausstellt, haben Untersuchungen dieses schwierigen Problems das Verständnis komplexer Zahlen bereichert.