Riemannsche Hypothese, in der Zahlentheorie, Hypothese des deutschen Mathematikers Bernhard Riemann über die Lokalisierung von Lösungen für die Riemannsche Zeta-Funktion, die mit dem Primzahlsatz verbunden ist und wichtige Auswirkungen auf die Verteilung von Primzahlen hat. Riemann hat die Hypothese in eine Veröffentlichung „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer bestimmten Grösse“ aufgenommen, die in der Ausgabe der Monatsberichte der Berliner Akademie vom November 1859 veröffentlicht wurde der Berliner Akademie “).
Die Zetafunktion ist definiert als die unendliche Reihe ζ (s) = 1 + 2 - s + 3 - s + 4 - s + ⋯ oder in kompakterer Notation:
Die Summe (Σ) der Terme für n verläuft von 1 bis unendlich durch die positiven ganzen Zahlen und s ist eine feste positive ganze Zahl größer als 1. Die Zetafunktion wurde erstmals im 18. Jahrhundert vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler untersucht. (Aus diesem Grund wird es manchmal als Euler-Zeta-Funktion bezeichnet. Für ζ (1) ist diese Reihe einfach die harmonische Reihe, von der seit der Antike bekannt ist, dass sie ungebunden zunimmt - dh ihre Summe ist unendlich.) Euler erlangte sofort Ruhm, als er erwies sich im Jahre 1735, dass ζ (2) = π 2 /6 ist ein Problem, das die größten Mathematiker der Ära, einschließlich der Schweizer Familie Bernoulli (Jakob, Johann und Daniel) verwehrt geblieben war. Allgemeiner entdeckte Euler (1739) eine Beziehung zwischen dem Wert der Zetafunktion für gerade ganze Zahlen und den Bernoulli-Zahlen, die die Koeffizienten in der Taylorreihenexpansion von x / (e x - 1) sind. (Siehe auch Exponentialfunktion.) Noch erstaunlicher ist, dass Euler 1737 eine Formel entdeckte, die die Zeta-Funktion in Beziehung setzt, bei der eine unendliche Folge von Begriffen, die die positiven ganzen Zahlen enthalten, summiert wird, und ein unendliches Produkt, das jede Primzahl umfasst:
Riemann erweiterte die Untersuchung der Zeta-Funktion um die komplexen Zahlen x + iy, wobei i = Quadratwurzel von √ - 1 ist, mit Ausnahme der Linie x = 1 in der komplexen Ebene. Riemann wusste, dass die Zeta-Funktion für alle negativen geraden ganzen Zahlen −2, −4, −6, gleich Null ist.
(sogenannte triviale Nullen) und dass es eine unendliche Anzahl von Nullen im kritischen Streifen komplexer Zahlen gibt, die streng zwischen den Linien x = 0 und x = 1 liegen. Er wusste auch, dass alle nichttrivialen Nullen in Bezug auf die symmetrisch sind kritische Linie x = 1 / 2. Riemann vermutete, dass sich alle nichttrivialen Nullen auf der kritischen Linie befinden, eine Vermutung, die später als Riemann-Hypothese bekannt wurde.
Im Jahr 1914 englischer Mathematiker erwies Godfrey Harold Hardy, dass eine unendliche Anzahl von Lösungen von ζ (s) = 0 exist auf der kritischen Linie x = 1 / 2. Anschließend wurde von verschiedenen Mathematikern gezeigt, dass ein großer Teil der Lösungen auf der kritischen Linie liegen muss, obwohl die häufigen „Beweise“, dass alle nicht trivialen Lösungen darauf sind, fehlerhaft waren. Computer wurden auch zum Testen von Lösungen verwendet, wobei gezeigt wurde, dass die ersten 10 Billionen nicht trivialen Lösungen auf der kritischen Linie liegen.
Ein Beweis der Riemannschen Hypothese hätte weitreichende Konsequenzen für die Zahlentheorie und die Verwendung von Primzahlen in der Kryptographie.
Die Riemannsche Hypothese gilt seit langem als das größte ungelöste Problem in der Mathematik. Es war eines von 10 ungelösten mathematischen Problemen (23 in der gedruckten Adresse), die der deutsche Mathematiker David Hilbert am 8. August 1900 auf dem Zweiten Internationalen Mathematikkongress in Paris als Herausforderung für Mathematiker des 20. Jahrhunderts vorstellte. Im Jahr 2000 wurde der amerikanische Mathematiker Stephen Smale aktualisierte Hilberts Idee mit einer Liste wichtiger Probleme für das 21. Jahrhundert; Die Riemannsche Hypothese war die Nummer eins. Im Jahr 2000 wurde es als Millennium-Problem bezeichnet, eines von sieben mathematischen Problemen, die vom Clay Mathematics Institute in Cambridge, Massachusetts, USA, für eine Sonderauszeichnung ausgewählt wurden. Die Lösung für jedes Millenniumsproblem hat einen Wert von 1 Million US-Dollar. Im Jahr 2008 wurde es von der US-amerikanischen Agentur für fortgeschrittene Verteidigungsforschungsprojekte (DARPA) als eine der mathematischen Herausforderungen der DARPA aufgeführt, 23 mathematische Probleme, für die sie Forschungsvorschläge zur Finanzierung einholte - „Mathematical Challenge Nineteen: Settle the Riemann Hypothesis. Der Heilige Gral der Zahlentheorie. “
