Logarithmus, der Exponent oder die Potenz, auf die eine Basis angehoben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Mathematisch ausgedrückt ist x der Logarithmus von n zur Basis b, wenn b x = n ist. In diesem Fall schreibt man x = log b n. Zum Beispiel 2 3 = 8; daher ist 3 der Logarithmus von 8 zu Basis 2 oder 3 = log 2 8. In gleicher Weise ist 10 2 = 100, dann 2 = log 10 100. Logarithmen der letzteren Art (dh Logarithmen mit Basis 10)) werden als gemeinsame oder Briggs'sche Logarithmen bezeichnet und einfach als log n geschrieben.
Logarithmen wurden im 17. Jahrhundert erfunden, um die Berechnungen zu beschleunigen, und reduzierten den Zeitaufwand für die Multiplikation von Zahlen mit vielen Ziffern erheblich. Sie waren mehr als 300 Jahre lang grundlegend in der numerischen Arbeit, bis die Perfektion mechanischer Rechenmaschinen im späten 19. Jahrhundert und Computer im 20. Jahrhundert sie für umfangreiche Berechnungen überflüssig machten. Der natürliche Logarithmus (mit der Basis e ≅ 2.71828 und geschrieben in n) ist jedoch weiterhin eine der nützlichsten Funktionen in der Mathematik, mit Anwendungen auf mathematische Modelle in den physikalischen und biologischen Wissenschaften.
Eigenschaften von Logarithmen
Logarithmen wurden von Wissenschaftlern aufgrund verschiedener nützlicher Eigenschaften, die lange, langwierige Berechnungen vereinfachten, schnell übernommen. Insbesondere könnten Wissenschaftler das Produkt zweier Zahlen m und n finden, indem sie den Logarithmus jeder Zahl in einer speziellen Tabelle nachschlagen, die Logarithmen addieren und dann die Tabelle erneut konsultieren, um die Zahl mit dem berechneten Logarithmus (bekannt als Antilogarithmus) zu finden.. In gemeinsamen Logarithmen ausgedrückt, ist diese Beziehung gegeben durch log mn = log m + log n. Zum Beispiel können 100 × 1.000 berechnet werden, indem die Logarithmen von 100 (2) und 1.000 (3) nachgeschlagen werden, die Logarithmen addiert werden (5) und dann der Antilogarithmus (100.000) in der Tabelle gefunden wird. In ähnlicher Weise werden Divisionsprobleme in Subtraktionsprobleme mit Logarithmen umgewandelt: log m / n = log m - log n. Das ist nicht alles; Die Berechnung von Potenzen und Wurzeln kann durch die Verwendung von Logarithmen vereinfacht werden. Logarithmen können auch zwischen positiven Basen konvertiert werden (außer dass 1 nicht als Basis verwendet werden kann, da alle ihre Potenzen gleich 1 sind), wie in der Abbildung gezeigt
Tabelle der logarithmischen Gesetze.
In Logarithmentabellen wurden normalerweise nur Logarithmen für Zahlen zwischen 0 und 10 aufgenommen. Um den Logarithmus einer Zahl außerhalb dieses Bereichs zu erhalten, wurde die Zahl zuerst in wissenschaftlicher Notation als Produkt ihrer signifikanten Ziffern und ihrer Exponentialkraft geschrieben - beispielsweise würde 358 als 3,58 × 10 2 und 0,0046 als geschrieben werden als 4,6 × 10 –3. Dann würde der Logarithmus der signifikanten Ziffern - ein Dezimalbruch zwischen 0 und 1, bekannt als Mantisse - in einer Tabelle gefunden werden. Um beispielsweise den Logarithmus von 358 zu finden, würde man log 3.58 ≅ 0.55388 nachschlagen. Daher ist log 358 = log 3,58 + log 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388. Im Beispiel einer Zahl mit einem negativen Exponenten wie 0,0046 würde man log 4,6 ≅ 0,66276 nachschlagen. Daher ist log 0,0046 = log 4,6 + log 0,001 = 0,66276 - 3 = –2,33724.
