Kontinuumshypothese, Aussage der Mengenlehre, dass die Menge der reellen Zahlen (das Kontinuum) in gewissem Sinne so klein wie möglich ist. 1873 bewies der deutsche Mathematiker Georg Cantor, dass das Kontinuum unzählig ist - das heißt, die reellen Zahlen sind eine größere Unendlichkeit als die Zählzahlen - ein Schlüsselergebnis für den Beginn der Mengenlehre als mathematisches Fach. Darüber hinaus entwickelte Cantor eine Methode zur Klassifizierung der Größe unendlicher Mengen nach der Anzahl ihrer Elemente oder ihrer Kardinalität. (Siehe Mengenlehre: Kardinalität und transfinite Zahlen.) In diesen Begriffen kann die Kontinuumshypothese wie folgt angegeben werden: Die Kardinalität des Kontinuums ist die kleinste unzählige Kardinalzahl.
Mengenlehre: Kardinalität und transfinite Zahlen
eine Vermutung, die als Kontinuumshypothese bekannt ist.
In Cantors Notation kann die Kontinuumshypothese durch die einfache Gleichung 2 ℵ 0 = ℵ 1 angegeben werden, wobei ℵ 0 die Kardinalzahl einer unendlich zählbaren Menge (wie die Menge natürlicher Zahlen) und die Kardinalzahlen größerer “ist. gut geordnete Mengen “sind ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indiziert durch die Ordnungszahlen. Es kann gezeigt werden, dass die Kardinalität des Kontinuums gleich 2 ℵ 0 ist; Somit schließt die Kontinuumshypothese die Existenz einer Menge von Größen zwischen den natürlichen Zahlen und dem Kontinuum aus.
Eine stärkere Aussage ist die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 für jede Ordnungszahl α. Der polnische Mathematiker Wacław Sierpiński hat bewiesen, dass man mit GCH das Axiom der Wahl ableiten kann.
Wie beim Axiom der Wahl hat der in Österreich geborene amerikanische Mathematiker Kurt Gödel 1939 bewiesen, dass, wenn die anderen Standard-Zermelo-Fraenkel-Axiome (ZF; siehe die
Tabelle) sind konsistent, dann widerlegen sie nicht die Kontinuumshypothese oder sogar GCH. Das heißt, das Ergebnis der Addition von GCH zu den anderen Axiomen bleibt konsistent. 1963 vervollständigte der amerikanische Mathematiker Paul Cohen das Bild, indem er erneut unter der Annahme zeigte, dass ZF konsistent ist, dass ZF keinen Beweis für die Kontinuumshypothese liefert.
Da ZF die Kontinuumshypothese weder beweist noch widerlegt, bleibt die Frage offen, ob die Kontinuumshypothese auf der Grundlage eines informellen Konzepts der Mengen akzeptiert werden soll. Die allgemeine Antwort in der mathematischen Gemeinschaft war negativ: Die Kontinuumshypothese ist eine einschränkende Aussage in einem Kontext, in dem kein Grund bekannt ist, eine Begrenzung aufzuerlegen. In der Mengenlehre weist die Potenzmengenoperation jedem Satz von Kardinalität ℵ α seinen Satz aller Teilmengen zu, der Kardinalität 2 ℵ α hat. Es scheint keinen Grund zu geben, die Vielfalt der Teilmengen, die eine unendliche Menge haben könnte, zu begrenzen.
