Kurt Gödel Amerikanischer Mathematiker

Kurt Gödel, Gödel buchstabierte auch Goedel (geboren am 28. April 1906 in Brünn, Österreich-Ungarn [heute Brno, Tschechische Republik] - gestorben am 14. Januar 1978 in Princeton, NJ, USA), in Österreich geborener Mathematiker, Logiker und Philosoph, der das vielleicht wichtigste mathematische Ergebnis des 20. Jahrhunderts erhalten hat: seinen berühmten Unvollständigkeitssatz, der besagt, dass es in jedem axiomatischen mathematischen System Sätze gibt, die auf der Grundlage der Axiome in diesem System nicht bewiesen oder widerlegt werden können; Daher kann ein solches System nicht gleichzeitig vollständig und konsistent sein. Dieser Beweis machte Gödel zu einem der größten Logiker seit Aristoteles, und seine Auswirkungen sind bis heute zu spüren und zu diskutieren.

Grundlagen der Mathematik: Gödel

In Hilberts Programm war die Hoffnung enthalten, dass der syntaktische Begriff der Beweisbarkeit den semantischen Begriff der Wahrheit erfassen würde. Gödel

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frühes Leben und Karriere

Gödel litt als Kind unter mehreren Perioden schlechter Gesundheit, nachdem er im Alter von 6 Jahren an rheumatischem Fieber litt und Angst vor einem verbleibenden Herzproblem hatte. Seine lebenslange Sorge um seine Gesundheit hat möglicherweise zu seiner möglichen Paranoia beigetragen, zu der die obsessive Reinigung seiner Essgeschirr und die Sorge um die Reinheit seines Essens gehörten.

Als deutschsprachiger Österreicher lebte Gödel plötzlich im neu gebildeten Land der Tschechoslowakei, als das österreichisch-ungarische Reich am Ende des Ersten Weltkriegs 1918 aufgelöst wurde. Sechs Jahre später studierte er jedoch in Österreich an der Universität Wien, wo er 1929 in Mathematik promovierte. Im nächsten Jahr wechselte er an die Fakultät der Universität Wien.

In dieser Zeit war Wien eines der intellektuellen Zentren der Welt. Es war die Heimat des berühmten Wiener Kreises, einer Gruppe von Wissenschaftlern, Mathematikern und Philosophen, die die naturalistische, stark empiristische und antimetaphysische Sichtweise des logischen Positivismus befürworteten. Gödels Dissertationsberater Hans Hahn war einer der Leiter des Wiener Kreises und stellte der Gruppe seinen Star-Studenten vor. Gödels eigene philosophische Ansichten hätten jedoch nicht unterschiedlicher sein können als die der Positivisten. Er schloss sich dem Platonismus, dem Theismus und dem Geist-Körper-Dualismus an. Darüber hinaus war er psychisch etwas instabil und Paranoia ausgesetzt - ein Problem, das sich mit zunehmendem Alter verschlimmerte. Sein Kontakt mit den Mitgliedern des Wiener Kreises ließ ihn das Gefühl haben, dass das 20. Jahrhundert seinen Ideen feindlich gegenüberstand.

Gödels Theoreme

In seiner 1930 in leicht verkürzter Form veröffentlichten Doktorarbeit „Über die Vollständigkeit des Logikkalküls“ erwies sich Gödel als eines der wichtigsten logischen Ergebnisse des Jahrhunderts - in der Tat von aller Zeit - nämlich der Vollständigkeitssatz, der feststellte, dass die klassische Logik erster Ordnung oder Prädikatenrechnung in dem Sinne vollständig ist, dass alle logischen Wahrheiten erster Ordnung in Standardbeweissystemen erster Ordnung bewiesen werden können.

Dies war jedoch nichts im Vergleich zu dem, was Gödel 1931 veröffentlichte - nämlich dem Unvollständigkeitssatz: „Über formale unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“ („Über formal unentscheidbare Sätze von Principia Mathematica und verwandten Systemen“). Grob gesagt stellte dieses Theorem das Ergebnis fest, dass es unmöglich ist, die axiomatische Methode zu verwenden, um in irgendeinem Zweig der Mathematik eine mathematische Theorie zu konstruieren, die alle Wahrheiten in diesem Zweig der Mathematik beinhaltet. (In England hatten Alfred North Whitehead und Bertrand Russell Jahre mit einem solchen Programm verbracht, das sie 1910, 1912 und 1913 in drei Bänden als Principia Mathematica veröffentlichten.) Zum Beispiel ist es unmöglich, eine axiomatische mathematische Theorie zu entwickeln das erfasst sogar alle Wahrheiten über die natürlichen Zahlen (0, 1, 2, 3,

). Dies war ein äußerst wichtiges negatives Ergebnis, da vor 1931 viele Mathematiker genau das versuchten - Axiomensysteme zu konstruieren, mit denen alle mathematischen Wahrheiten bewiesen werden konnten. In der Tat haben mehrere bekannte Logiker und Mathematiker (z. B. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) einen erheblichen Teil ihrer Karriere für dieses Projekt aufgewendet. Unglücklicherweise zerstörte Gödels Theorem dieses gesamte axiomatische Forschungsprogramm.

Internationaler Ruhm und Umzug in die USA

Nach der Veröffentlichung des Unvollständigkeitssatzes wurde Gödel eine international bekannte intellektuelle Figur. Er reiste mehrmals in die USA und lehrte ausgiebig an der Princeton University in New Jersey, wo er Albert Einstein kennenlernte. Dies war der Beginn einer engen Freundschaft, die bis zu Einsteins Tod im Jahr 1955 dauern sollte.

In dieser Zeit begann sich jedoch auch Gödels geistige Gesundheit zu verschlechtern. Er litt unter Depressionen und nach der Ermordung von Moritz Schlick, einem der Führer des Wiener Kreises, durch einen gestörten Studenten erlitt Gödel einen Nervenzusammenbruch. In den kommenden Jahren litt er mehrere weitere.

Nachdem Nazideutschland am 12. März 1938 Österreich annektiert hatte, befand sich Gödel in einer ziemlich schwierigen Situation, auch weil er seit langem enge Verbindungen zu verschiedenen jüdischen Mitgliedern des Wiener Kreises hatte (tatsächlich war er auf den Straßen Wiens angegriffen worden) von Jugendlichen, die glaubten, er sei Jude) und teilweise, weil er plötzlich in Gefahr war, in die deutsche Armee eingezogen zu werden. Am 20. September 1938 heiratete Gödel Adele Nimbursky (geb. Porkert). Als der Zweite Weltkrieg ein Jahr später ausbrach, floh er mit seiner Frau aus Europa, nahm die transsibirische Eisenbahn durch Asien und segelte über den Pazifik. und dann mit einem weiteren Zug quer durch die USA nach Princeton, New Jersey, wo er mit Hilfe von Einstein eine Stelle am neu gegründeten Institute for Advanced Studies (IAS) antrat. Den Rest seines Lebens verbrachte er am IAS, von dem er 1976 in den Ruhestand trat. Gödel wurde 1948 US-amerikanischer Staatsbürger. (Einstein nahm an seiner Anhörung teil, weil Gödels Verhalten eher unvorhersehbar war und Einstein befürchtete, Gödel könnte seins sabotieren eigener Fall.)

1940, nur wenige Monate nach seiner Ankunft in Princeton, veröffentlichte Gödel eine weitere klassische mathematische Arbeit, "Konsistenz des Axioms der Wahl und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese mit den Axiomen der Mengenlehre", die bewies, dass das Axiom der Wahl und das Kontinuum Die Hypothese stimmt mit den Standardaxiomen (wie den Zermelo-Fraenkel-Axiomen) der Mengenlehre überein. Dies begründete die Hälfte einer Vermutung von Gödel - nämlich, dass die Kontinuumshypothese in Standard-Mengen-Theorien nicht als wahr oder falsch bewiesen werden konnte. Gödels Beweis zeigte, dass es in diesen Theorien nicht als falsch erwiesen werden konnte. 1963 demonstrierte der amerikanische Mathematiker Paul Cohen, dass es auch in diesen Theorien nicht als wahr erwiesen werden konnte, was Gödels Vermutung bestätigte.

1949 leistete Gödel auch einen wichtigen Beitrag zur Physik und zeigte, dass Einsteins allgemeine Relativitätstheorie die Möglichkeit von Zeitreisen zulässt.