János Bolyai (* 15. Dezember 1802 in Kolozsvár, Ungarn [heute Cluj, Rumänien]; * 27. Januar 1860 in Marosvásárhely, Ungarn [heute Târgu Mureş, Rumänien]), ungarischer Mathematiker und einer der Begründer der nichteuklidischen Geometrie - eine Geometrie, die sich von der euklidischen Geometrie in der Definition paralleler Linien unterscheidet. Die Entdeckung einer konsistenten alternativen Geometrie, die der Struktur des Universums entsprechen könnte, half den Mathematikern, abstrakte Konzepte unabhängig von einer möglichen Verbindung mit der physischen Welt zu studieren.
Mit 13 Jahren beherrschte Bolyai unter der Anleitung seines Vaters, des Mathematikers Farkas Bolyai, die Analysis und die analytische Mechanik. Schon in jungen Jahren wurde er ein versierter Geiger und später als hervorragender Schwertkämpfer bekannt. Er studierte am Royal Engineering College in Wien (1818–22) und diente im Army Engineering Corps (1822–33).
Die Sorge des älteren Bolyai, Euklids paralleles Axiom zu beweisen, infizierte seinen Sohn, und trotz der Warnungen seines Vaters beharrte János auf seiner eigenen Suche nach einer Lösung. In den frühen 1820er Jahren kam er zu dem Schluss, dass ein Beweis wahrscheinlich unmöglich war, und begann, eine Geometrie zu entwickeln, die nicht von Euklids Axiom abhing. 1831 veröffentlichte er "Anhang Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens" ("Anhang zur Erklärung der absolut wahren Wissenschaft des Weltraums"), ein vollständiges und konsistentes System nichteuklidischer Geometrie, als Anhang zum Geometriebuch seines Vaters, Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos Purae Introducendi (1832; „Ein Versuch, die studierende Jugend in die Elemente der reinen Mathematik einzuführen“).
Eine Kopie dieser Arbeit wurde an Carl Friedrich Gauss in Deutschland geschickt, der antwortete, er habe einige Jahre zuvor die wichtigsten Ergebnisse entdeckt. Dies war ein schwerer Schlag für Bolyai, obwohl Gauß keinen Anspruch auf Priorität hatte, da er seine Ergebnisse nie veröffentlicht hatte. Bolyais Aufsatz blieb von anderen Mathematikern unbemerkt. 1848 entdeckte er, dass Nikolay Ivanovich Lobachevsky 1829 einen Bericht über praktisch dieselbe Geometrie veröffentlicht hatte.
Obwohl Bolyai seine mathematischen Studien fortsetzte, wurde die Bedeutung seiner Arbeit in seinem Leben nicht erkannt. Zusätzlich zur Arbeit an seiner nichteuklidischen Geometrie entwickelte er ein geometrisches Konzept komplexer Zahlen als geordnete Paare reeller Zahlen.
