Oberleitungsmathematik

Oberleitung, in der Mathematik eine Kurve, die die Form einer flexiblen hängenden Kette oder eines Kabels beschreibt - der Name leitet sich von der lateinischen Oberleitung („Kette“) ab. Jedes frei hängende Kabel oder jede Schnur nimmt diese Form an, auch Kettenkette genannt, wenn der Körper eine einheitliche Masse pro Längeneinheit aufweist und ausschließlich durch die Schwerkraft beaufschlagt wird.

Anfang des 17. Jahrhunderts verwendete der deutsche Astronom Johannes Kepler die Ellipse zur Beschreibung von Planetenbahnen, und der italienische Wissenschaftler Galileo Galilei verwendete die Parabel, um die Projektilbewegung ohne Luftwiderstand zu beschreiben. Inspiriert von dem großen Erfolg von Kegelschnitten in diesen Umgebungen glaubte Galileo fälschlicherweise, dass eine hängende Kette die Form einer Parabel annehmen würde. Später im 17. Jahrhundert zeigte der niederländische Mathematiker Christiaan Huygens, dass die Kettenkurve nicht durch eine algebraische Gleichung gegeben werden kann (eine, die nur arithmetische Operationen zusammen mit Potenzen und Wurzeln umfasst). er prägte auch den Begriff Oberleitung. Neben Huygens haben der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli und der deutsche Mathematiker Gottfried Leibniz zur vollständigen Beschreibung der Oberleitungsgleichung beigetragen.

Genau genommen ist die Kurve in der xy-Ebene einer solchen Kette, die an ihren Enden an gleichen Höhen aufgehängt ist und bei x = 0 auf ihre niedrigste Höhe y = a abfällt, durch die Gleichung y = (a / 2) (e ^{x / a) gegeben} + e - ^{x / a}). Es kann auch als hyperbolische Kosinusfunktion ausgedrückt werden als y = a cosh (x / a). Siehe die Abbildung.

Obwohl die Oberleitungskurve nicht durch eine Parabel beschrieben werden kann, ist es von Interesse zu bemerken, dass sie mit einer Parabel zusammenhängt: Die Kurve, die in der Ebene durch den Fokus einer Parabel verfolgt wird, wenn sie entlang einer geraden Linie rollt, ist eine Oberleitung. Die Rotationsfläche, die erzeugt wird, wenn eine nach oben öffnende Oberleitung um die horizontale Achse gedreht wird, wird als Oberleitung bezeichnet. Das Catenoid wurde 1744 vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler entdeckt und ist neben der Ebene die einzige minimale Oberfläche, die als Rotationsfläche erhalten werden kann.

Die Oberleitung und die damit verbundenen hyperbolischen Funktionen spielen in anderen Anwendungen eine Rolle. Ein umgekehrtes hängendes Kabel bildet die Form eines stabilen, selbstständigen Bogens, beispielsweise des Gateway Arch in St. Louis, Missouri. Die hyperbolischen Funktionen ergeben sich auch bei der Beschreibung von Wellenformen, Temperaturverteilungen und der Bewegung fallender Körper, die einem Luftwiderstand ausgesetzt sind, der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des Körpers ist.