Geschichte der Analyse
Die Griechen begegnen kontinuierlichen Größen
Die Analyse besteht aus den Teilen der Mathematik, in denen ein kontinuierlicher Wandel wichtig ist. Dazu gehören die Untersuchung der Bewegung und der Geometrie glatter Kurven und Flächen, insbesondere die Berechnung von Tangenten, Flächen und Volumina. Altgriechische Mathematiker machten sowohl in der Theorie als auch in der Praxis der Analyse große Fortschritte. Die Theorie wurde ihnen etwa 500 v. Chr. Durch die pythagoreische Entdeckung irrationaler Größen und etwa 450 v. Chr. Durch Zenos Bewegungsparadoxien aufgezwungen.
Die Pythagoräer und irrationalen Zahlen
Anfangs glaubten die Pythagoräer, dass alle Dinge an den diskreten natürlichen Zahlen gemessen werden könnten (1, 2, 3,
) und ihre Verhältnisse (gewöhnliche Brüche oder die rationalen Zahlen). Dieser Glaube wurde jedoch durch die Entdeckung erschüttert, dass die Diagonale eines Einheitsquadrats (dh eines Quadrats, dessen Seiten eine Länge von 1 haben) nicht als rationale Zahl ausgedrückt werden kann. Diese Entdeckung wurde durch ihren eigenen Satz von Pythagoras hervorgerufen, der feststellte, dass das Quadrat auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Summe der Quadrate auf den beiden anderen Seiten ist - in der modernen Notation ist c 2 = a 2 + b 2. In einem Einheitsquadrat ist die Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten a = b = 1; Daher ist sein Maß die Quadratwurzel von √2 - eine irrationale Zahl. Gegen ihre eigenen Absichten hatten die Pythagoräer damit gezeigt, dass rationale Zahlen nicht ausreichten, um selbst einfache geometrische Objekte zu messen. (Siehe Seitenleiste: Inkommensurables.) Ihre Reaktion bestand darin, eine Arithmetik von Liniensegmenten zu erstellen, wie sie in Buch II der Euklidischen Elemente (ca. 300 v. Chr.) Zu finden ist und eine geometrische Interpretation rationaler Zahlen enthielt. Für die Griechen waren Liniensegmente allgemeiner als Zahlen, da sie sowohl kontinuierliche als auch diskrete Größen enthielten.
In der Tat kann die Quadratwurzel von √2 nur über einen unendlichen Prozess mit den rationalen Zahlen in Beziehung gesetzt werden. Dies wurde von Euklid realisiert, der die Arithmetik sowohl rationaler Zahlen als auch Liniensegmente studierte. Sein berühmter euklidischer Algorithmus führt, wenn er auf ein Paar natürlicher Zahlen angewendet wird, in einer endlichen Anzahl von Schritten zu ihrem größten gemeinsamen Teiler. Wenn es jedoch auf ein Paar von Liniensegmenten mit einem irrationalen Verhältnis angewendet wird, z. B. Quadratwurzel von √2 und 1, kann es nicht beendet werden. Euklid verwendete diese Nichtterminierungseigenschaft sogar als Kriterium für Irrationalität. Die Irrationalität stellte das griechische Zahlenkonzept in Frage, indem sie sie zwang, sich mit unendlichen Prozessen auseinanderzusetzen.
Zenos Paradoxe und das Konzept der Bewegung
So wie die Quadratwurzel von 2 eine Herausforderung für das Zahlenkonzept der Griechen war, waren Zenos Paradoxe eine Herausforderung für ihr Bewegungskonzept. In seiner Physik (ca. 350 v. Chr.) Zitierte Aristoteles Zeno mit den Worten:
Es gibt keine Bewegung, weil das, was bewegt wird, in der Mitte [des Kurses] ankommen muss, bevor es am Ende ankommt.
Zenos Argumente sind nur durch Aristoteles bekannt, der sie hauptsächlich zitierte, um sie zu widerlegen. Vermutlich bedeutete Zeno, dass man, um irgendwohin zu gelangen, zuerst den halben Weg und vor diesem Viertel des Weges und vor diesem Achtel des Weges und so weiter gehen muss. Da dieser Prozess der Halbierung von Entfernungen bis ins Unendliche andauern würde (ein Konzept, das die Griechen nicht als möglich akzeptieren würden), behauptete Zeno, „zu beweisen“, dass die Realität aus unveränderlichem Sein besteht. Trotz ihrer Abneigung gegen die Unendlichkeit stellten die Griechen fest, dass das Konzept in der Mathematik kontinuierlicher Größen unverzichtbar war. Also haben sie so endlich wie möglich über die Unendlichkeit nachgedacht, in einem logischen Rahmen, der als Proportionstheorie bezeichnet wird, und unter Verwendung der Methode der Erschöpfung.
Die Proportionalitätstheorie wurde von Eudoxus um 350 v. Chr. Erstellt und in Buch V der Euklidischen Elemente aufbewahrt. Es stellte eine genaue Beziehung zwischen rationalen Größen und willkürlichen Größen her, indem zwei Größen als gleich definiert wurden, wenn die rationalen Größen kleiner als sie gleich waren. Mit anderen Worten, zwei Größen waren nur dann unterschiedlich, wenn zwischen ihnen eine rationale Größe bestand. Diese Definition diente Mathematikern zwei Jahrtausende lang und ebnete den Weg für die Arithmetisierung der Analyse im 19. Jahrhundert, in der willkürliche Zahlen in Bezug auf die rationalen Zahlen streng definiert wurden. Die Proportionalitätstheorie war die erste rigorose Behandlung des Grenzbegriffs, eine Idee, die den Kern der modernen Analyse bildet. In modernen Begriffen definierte Eudoxus 'Theorie beliebige Größen als Grenzen rationaler Größen, und grundlegende Sätze über die Summe, Differenz und das Produkt von Größen entsprachen Theoremen über die Summe, Differenz und das Produkt von Grenzen.
