Logik und Metalogik
In gewissem Sinne ist Logik mit dem Prädikatenkalkül erster Ordnung zu identifizieren, dem Kalkül, in dem die Variablen auf Individuen einer festen Domäne beschränkt sind - obwohl sie auch die Identitätslogik enthalten kann, die mit „=“ symbolisiert ist nimmt die gewöhnlichen Eigenschaften der Identität als Teil der Logik. In diesem Sinne erreichte Gottlob Frege bereits 1879 eine formale Logikrechnung. Manchmal wird Logik jedoch so ausgelegt, dass sie auch Prädikatenkalküle höherer Ordnung enthält, die Variablen höherer Typen zulassen, beispielsweise solche, die sich über Prädikate (oder Klassen und Beziehungen) erstrecken) und so weiter. Aber dann ist es ein kleiner Schritt zur Einbeziehung der Mengenlehre, und tatsächlich wird die axiomatische Mengenlehre oft als Teil der Logik angesehen. Für die Zwecke dieses Artikels ist es jedoch angemessener, die Diskussion auf die Logik im ersten Sinne zu beschränken.
Es ist schwierig, signifikante Erkenntnisse in der Logik von denen in der Metallogik zu trennen, da alle für Logiker interessanten Theoreme sich mit Logik befassen und daher zur Metallogik gehören. Wenn p ein mathematischer Satz ist - insbesondere ein Satz über Logik - und P die Konjunktion der mathematischen Axiome ist, die zum Beweis von p verwendet werden, dann kann jedes p in der Logik in einen Satz "entweder nicht-P oder p" umgewandelt werden. Die Mathematik wird jedoch nicht durchgeführt, indem alle in der Logik formalisierten Schritte explizit ausgeführt werden. Die Auswahl und das intuitive Erfassen der Axiome ist sowohl für die Mathematik als auch für die Metamathematik wichtig. Tatsächliche Ableitungen in der Logik, wie sie kurz vor dem Ersten Weltkrieg von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell durchgeführt wurden, sind für Logiker von geringem Interesse. Es könnte daher überflüssig erscheinen, den Begriff Metalogic einzuführen. In der vorliegenden Klassifikation wird Metalogic jedoch so verstanden, dass es sich nicht nur um Erkenntnisse über logische Kalküle handelt, sondern auch um Studien formaler Systeme und formaler Sprachen im Allgemeinen.
Ein gewöhnliches formales System unterscheidet sich von einem logischen Kalkül darin, dass das System normalerweise eine beabsichtigte Interpretation hat, während der logische Kalkül die möglichen Interpretationen bewusst offen lässt. So spricht man zum Beispiel von der Wahrheit oder Falschheit von Sätzen in einem formalen System, aber in Bezug auf einen logischen Kalkül spricht man von Gültigkeit (dh in allen Interpretationen oder in allen möglichen Welten wahr zu sein) und von Erfüllbarkeit (oder ein Modell haben - dh in einer bestimmten Interpretation wahr sein). Daher hat die Vollständigkeit eines logischen Kalküls eine ganz andere Bedeutung als die eines formalen Systems: Ein logischer Kalkül erlaubt viele Sätze, so dass weder der Satz noch seine Negation ein Theorem sind, weil er in einigen Interpretationen wahr und in anderen falsch ist, und es erfordert nur, dass jeder gültige Satz ein Satz ist.
