Die Bessel-Funktion, auch Zylinderfunktion genannt, ist eine Reihe mathematischer Funktionen, die der deutsche Astronom Friedrich Wilhelm Bessel um 1817 während einer Untersuchung von Lösungen einer der Kepler-Gleichungen der Planetenbewegung systematisch herleitete. Bestimmte Funktionen des Sets wurden zuvor von den Schweizer Mathematikern Daniel Bernoulli, der die Schwingungen einer an einem Ende hängenden Kette untersuchte, und Leonhard Euler, der die Schwingungen einer gestreckten Membran analysierte, formuliert.
Nachdem Bessel seine Ergebnisse veröffentlicht hatte, stellten andere Wissenschaftler fest, dass die Funktionen in mathematischen Beschreibungen vieler physikalischer Phänomene auftraten, einschließlich des Wärme- oder Elektrizitätsflusses in einem festen Zylinder, der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen entlang von Drähten, der Beugung von Licht und der Bewegungen von Flüssigkeiten und die Verformungen elastischer Körper. Einer dieser Forscher, Lord Rayleigh, stellte die Bessel-Funktionen auch in einen größeren Kontext, indem er zeigte, dass sie in der Lösung der Laplace-Gleichung (siehe auch) entstehen, wenn diese in zylindrischen (statt kartesischen oder sphärischen) Koordinaten formuliert ist.
Insbesondere ist eine Bessel-Funktion eine Lösung der Differentialgleichung
das heißt Besselsche Gleichung. Für Integralwerte von n sind die Bessel-Funktionen
Der Graph von J 0 (x) sieht aus wie der einer gedämpften Cosinuskurve, und der von J 1 (x) sieht aus wie der einer gedämpften Sinuskurve (siehe Graph).
Bestimmte physikalische Probleme führen zu Differentialgleichungen analog zur Besselschen Gleichung; Ihre Lösungen haben die Form von Kombinationen von Bessel-Funktionen und werden als Bessel-Funktionen der zweiten oder dritten Art bezeichnet.
