Albert Einstein über Raumzeit

Euklidische Geometrie

Wenn wir die euklidische Geometrie betrachten, erkennen wir deutlich, dass sie sich auf die Gesetze bezieht, die die Positionen starrer Körper regeln. Es wird der geniale Gedanke berücksichtigt, alle Beziehungen in Bezug auf Körper und ihre relativen Positionen auf das sehr einfache Konzept „Distanz“ zurückzuführen. Abstand bezeichnet einen starren Körper, auf dem zwei Materialpunkte (Markierungen) angegeben wurden. Das Konzept der Gleichheit von Abständen (und Winkeln) bezieht sich auf Experimente mit Zufällen; Gleiches gilt für die Kongruenzsätze. Nun verwendet die euklidische Geometrie in der Form, in der sie von Euklid an uns weitergegeben wurde, die Grundbegriffe „gerade Linie“ und „Ebene“, die den Erfahrungen nicht oder zumindest nicht so direkt zu entsprechen scheinen über die Position von starren Körpern. Hierzu ist zu bemerken, dass das Konzept der geraden Linie auf das der Entfernung reduziert werden kann.¹ Darüber hinaus ging es den Geometrikern weniger darum, das Verhältnis ihrer Grundbegriffe zur Erfahrung herauszustellen, als vielmehr darum, die geometrischen Sätze aus einigen eingangs ausgesprochenen Axiomen logisch abzuleiten.

Lassen Sie uns kurz skizzieren, wie vielleicht die Grundlage der euklidischen Geometrie aus dem Konzept der Distanz gewonnen werden kann.

Wir gehen von der Gleichheit der Entfernungen aus (Axiom der Gleichheit der Entfernungen). Angenommen, von zwei ungleichen Abständen ist einer immer größer als der andere. Für die Ungleichheit der Abstände gelten dieselben Axiome wie für die Ungleichheit der Zahlen.

Bei drei Abständen AB ¹, BC ¹, CA ¹ können bei geeigneter Wahl von CA ¹ die Markierungen BB ¹, CC ¹, AA ^{1 so} übereinander liegen, dass sich ein Dreieck ABC ergibt. Der Abstand CA ¹ hat eine Obergrenze, für die diese Konstruktion noch möglich ist. Die Punkte A, (BB ') und C liegen dann in einer "geraden Linie" (Definition). Dies führt zu den Konzepten: Erzeugen einer Distanz um einen Betrag, der sich selbst entspricht; einen Abstand in gleiche Teile teilen; Ausdrücken eines Abstandes in Form einer Zahl mittels eines Messstabes (Definition des Raumintervalls zwischen zwei Punkten).

Wenn das Konzept des Intervalls zwischen zwei Punkten oder der Länge einer Entfernung auf diese Weise gewonnen wurde, benötigen wir nur das folgende Axiom (Satz von Pythagoras), um analytisch zur euklidischen Geometrie zu gelangen.

Jedem Raumpunkt (Bezugskörper) können drei Zahlen (Koordinaten) x, y, z so zugeordnet werden - und umgekehrt -, dass für jedes Paar von Punkten A (x ₁, y ₁, z ₁) und B (x ₂, y ₂, z ₂) gilt der Satz:

Maßzahl AB = Quadratwurzel {(x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² + (z ₂ - z ₁) ² }.

Auf dieser Basis können dann alle weiteren Konzepte und Sätze der euklidischen Geometrie rein logisch aufgebaut werden, insbesondere auch die Sätze über die Gerade und die Ebene.

Diese Bemerkungen sollen natürlich nicht die streng axiomatische Konstruktion der euklidischen Geometrie ersetzen. Wir wollen nur plausibel angeben, wie alle Vorstellungen von Geometrie auf die der Distanz zurückgeführt werden können. Wir hätten genauso gut die gesamte Grundlage der euklidischen Geometrie im letzten Satz oben verkörpern können. Das Verhältnis zu den Grundlagen der Erfahrung würde dann durch einen ergänzenden Satz hergestellt.

Die Koordinate kann und muss so gewählt werden, dass zwei durch gleiche Intervalle getrennte Punktepaare, berechnet mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, mit ein und demselben geeignet gewählten Abstand (auf einem Volumenkörper) zusammenfallen.

Die Konzepte und Sätze der euklidischen Geometrie können aus Pythagoras 'Satz ohne die Einführung starrer Körper abgeleitet werden; Diese Konzepte und Vorschläge hätten dann jedoch keine Inhalte, die getestet werden könnten. Sie sind keine „wahren“ Sätze, sondern nur logisch korrekte Sätze rein formalen Inhalts.